A dolgozat - az előzetes tájékoztatónak megfelelően - márc. 26-án lesz. Konzultáció: Márc.24-én kedden 10-kor a szobámban (3-202), ahol elsősorban a gyakorló feladatokat beszéljük meg.
Vizsga: május 28 (csütörtök) 10 óra, konzultáció: május 27 (szerda) 12 óra, 3-202-es szoba. Vizsgatematika
Az előadások vázlatos tematikája hetekre lebontva.
1. hét (02.12): A hiányzások miatt elmaradt, pótlása úgy történik, hogy a további alkalmak 10 perccel hosszabbak lesznek.
2. hét (02.19) (Kiss Emil könyv 4.1-4.5): Ismétlés: csoport, példák, rend, részcsoport, S_n, permutációk felírása diszjunkt ciklusok, illetve (nem feltétlenül diszjunkt) transzpozíciók szorzataként, permutáció rendje. Cayley-tétel: Minden n elemű csoport izomorf S_n egy H részcsoportjával. Ez a H tranzitív és az identitáson kívül csak fixpontmentes permutációkból áll. A racionálisokon értelmezett két periodikus függvény összege is periodikus. Gondolkozni: A valóson az identitás előáll-e két periodikus függvény összegeként. Ehhez előtte meggondolandó: az egész+egésszer gyök2 alakú számokon ez igaz-e.
3. hét (02.26) Beláttuk, hogy az f(x)=x identitásfüggvény előáll két periodikus függvény összegeként az egész+egészszer gyök2 alakú számokon, és ennek segítségével ugyanezt igazoltuk az összes valós számon értelmezett identitásfüggvényre is. Ismétlés: normálosztó (KE könyv 4.7, 4.8 egy kis része). Igazoltuk, hogy ha |G|=4k+2, k>0, akkor G-nek van nem triviális normálosztója. Elkezdtük vizsgálni a délamerikai indiánok házasodási szabályait: születéskor minden gyerek kap egy jelet, ami csak a nemétől és a szülők jelétől függ, és csak azonos jelű férfi és nő házasodhat össze. Azt akarjuk, hogy testvérek, illetve szülő és gyereke ne házasodhassanak, általában két ember házasodásának emgedélyezése vagy tiltása csak a pontos rokonsági fokuktól függjön (tehát ne forduljon elő, hogy egy bizonyos rokonsági foknál az egyik jel esetén lehessen házasodni, egy másiknál viszont nem), és végül bármely két embernek lehessenek olyan leszármazottjai, akik összeházasodhatnak (azaz a törzs ne essen szét diszjunkt kasztokra). Elkezdtük felállítani a matematikai modellt, folyt. legközelebb, lehet gondolkozni. (A KE-ben nem szereplő részekről rövid összefoglalókat fogok osztani.)
4. hét (03.05) Megoldottuk az indiánok házasodási problémáját pdf, majd átismételtük a faktorcsoportról és a homomorfizmusról, illetve ezek kapcsolatáról tanultakat. A kommutatitivitás mértékére bevezettük a centrumot és a kommutátor-részcsoportot, és meghatároztuk ezeket D_4-ben. Beláttuk, hogy a centrum normálosztó, sőt minden részcsoportja is normálosztó. (KE-könyv 4.7, 4.8.)
5. hét (03.12) Megbeszéltük a 3. és 4. házi feladatot. Minden, a G' kommutátor-részcsoportot tartalmazó részcsoport normálosztó. G/N acsa kommutatív, ha N tartalmazza G'-t, azaz egy homomorf kép acsa kommutatív, ha a mag tartalmazza G'-t. Kiszámoltuk S_n centrumát és kommutátor-részcsoportját. Centralizátor, konjugált osztályok, osztályegyenlet. (KE-könyv 4.7, 4.8.)
6. hét (03.19) Centrum szerinti faktorcsoport nem ciklikus, prímhatvány rendű csoport centruma nem csak az egységelem, prímnégyzet rendű csoport kommutatív, így kétféle lehet. Nem kommutatív csoportban két elem felcserélhetőségének a valószínűsége legfeljebb 5/8 (és ez éles) pdf. Pontosan prím k (és k=1) esetén igaz a Lagrange-tétel alábbi megfordítása: Ha k osztója a csoport elemszámának, akkor a csoportban van k rendű elem.
7. hét (03.26) ZH.
8. hét (04.09) Sylow-tételek, alkalmazásaik, 2p és pq elemszámú csoportok szerkezete pdf.
9. hét (04.16) Testbővítések, véges testek (KE-könyv 6.1, 6.7, Freud: Lineáris algebra A7, A8, Freud-Gyarmati: Számelmélet 10.1, 10.2). Sidon-sorozatok, elemi becslések.
10. hét (04.23) Sidon-sorozatok alsó becslés n=p^2-1 esetén. Vanderwaerden problémakör, w(18) alsó becslés, több bizonyítás (Freud: Lineáris algebra 9.6, Freud-Gyarmati: Számelmélet 12.2, 12.4).
11. hét (04.30) Geometriai átdarabolhatóság: Bolyai-Gerwien-tétel, Hilbert harmadik problémája (FR: Lineáris algebra 9.7).
12. hét (05.14) Paradox jelenségek: Sikon olyan halmaz, amely két, az eredetivel egybevágó részhalmazának diszjunkt egyesitése, egy intervallum átdarabolható az irracionális pontjai halmazába, Hausdorff- és Banach-Tarski paradoxon pdf.
Tájékoztató és 1. hf (02.19): A beadási határidő értelemszerűen 02.26-ra módosul pdf. Az órán adtam útmutatást, aki igényli, emailben vagy emailben egyeztetett időpontban személyesen kaphat még, illetve kérdezhet az anyaggal kapcsolatban. A fogadóórám csütörtök 10-11 a szobámban (3-202), de más időpontot is meg tudunk beszélni, illetve a fogadóórára jövésről is jobb előre egyeztetni, hogy az esetleges hosszabb várakozást el lehessen kerülni.
2. hf (02.26): pdf Meghosszabbítottuk a beadási határidőt 03.12-ig.
3. hf (03.05): pdf Meghosszabbítottuk a beadási határidőt 03.19-ig.
4. hf (03.12): pdf
5. hf (04.09): pdf
6. hf (04.16): pdf
7. (utolsó) hf (04.23): pdf Bármelyik kiváltható a w(k) alsó becslésre az előadáson adott vázlat kidolgozásával.