0;136;0c(ii)-(iii) 2 of the following 5: 29; 30; 31(a3),(a4),b; 32c; 33. Algebra és számelmélet 1 előadás tanárszakosoknak

Algebra és számelmélet 1 előadás tanárszakosoknak


Általános tájékoztató

Konzultáció (tanítási napokon): szerda 15.45 - 16:15 és csütörtök 13:00 - 13:45, a 3-202-es szobában.

Az évfolyamzh-k végleges időpontja: október 25, november 29, péntek 16 --18 óra, Északi épület Konferenciaterem.

Tájékoztató az évfolyamdolgozatról

Az október 24-i 6-kor kezdődő évfolyamkonzultáció (nem a 0.100A-ban, hanem) az Északi épület 4.95 teremben lesz.

1. dolgozat+megoldás/pontozás

Tájékoztató a 2. évfolyamdolgozatról

2. dolgozat+megoldás/pontozás


Tájékoztató a vizsgákról

Figyelem!!! December 18-án kivételesen reggel 8-kor kezdődik a vizsga!!!

A javító zh dec. 17-én, kedden 10-12 lesz a 0-822-ben. Részletes feltételek a vizsgatájékoztatóban olvashatók.


Mi történt az előadáson?

1. előadás, 09/12: Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, az egyértelmű felbonthatóság kérdése az egészeknél, a 0-ra végződő számoknál és az egész plusz egésszer gyök3 alakú számoknál. (Számelmélet könyv 1.1.)

2. előadás, 09/19: Pontosan definiáltuk a felbonthatatlan fogalmát és megfogalmaztuk, mi a számelmélet alaptételének (SZAT) pontosa állítása. Célunk ennek bizonyítása az egész számokra. Beláttuk a maradékos osztás létezését és egyértelműségét mind a legkisebb nem-negatív, mind a legkisebb abszolút értékű maradékkal. Definiáltuk a kongruencia fogalmát és kimondtuk a műveletekkel kapcsolatos alaptulajdonságokat. Az lnko mellett definiáltuk a kitüntetett közös osztót, megbeszéltük, hogy ez csak az lnko egységszerese lehet, de nem nyilvánvaló, hogy létezik. Ezt fogjuk bizonyítani legközelebb az euklideszi algpritmussal. (SZE könyv: 1.2, D1.3.1-1.3.2, D1.4.1, T1.5.1 állítása.)

3. előadás, 09/26: Az euklideszi algoritmussal bizonyítottuk a kitüntetett közös osztó létezését (ami ekvivalens azzal, hogy az lnko minden közös osztónak többszöröse). Következmények: (a,b)=av+bw alkalmas egészekkel (gyakorlaton lesz); (ca,cb)=|c|(a,b), ez az euklideszi algoritmusból adódik (részletek hf vagy a könyvből); (a,b)=1 esetén a|bc-ből következik a|c; kétváltozós lineáris diofantikus egyenlet megoldhatóságának feltétele (megoldásszám, összes megoldás, gyakorlati megoldási módszer gyakorlaton lesz). Az euklideszi algoritmus nagy számok lnko-jának gyakorlati meghatározására is gyors módszer (míg a prímtényezős felbontásból való kiszámítás reménytelen, mert nagy számok felbontására nem ismerünk gyors algoritmust). (SZE könyv: 1.3, 7.1, T5.7.1/II.)

4. előadás, 10/03: Prím és felbonthatatlan ekvivalenciája az egészeknél. A 0-ra végződő számok körében nincs prím. A számelmélet alaptétele. Elemzés: az egyértelműségi rész milyen lépéseken keresztül következett a maradékos osztás egyszerű tényéből. (SZE könyv: 1.4-1.5.)

5. előadás, 10/10: Kanonikus alak, osztó, lnko, lkkt kanonikus alakja, az lkkt minden közös többszörösnek osztója, d(n), fi(n). Végtelen sok prímszám (= pozitív felbonthatatlan szám) létezik, sőt ezek között végtelen sok 4k-1 alakú prím van. (SZE könyv: 1.6, 2.3, T5.1.1, T5.3.2.)

6. előadás, 10/17: Prímszámok számtani sorozatokban: Dirichlet-tétel (biz. nélkül). Eratoszteneszi szita. Mersenne- és Fermat-prímek. Hézag a szomszédos prímek között: kicsi: ikerprímprobléma és legújabb fejleményei: van olyan d<248, hogy végtelen sokszor két szomszédos prím különbsége d. Nagy hézag: akármilyen nagy hézag lehet (gyakorlaton lesz), relatív hézag: Csebisev-tétel (biz. nélkül). Megoldatlan: két szomszédos négyzetszám között mindig van-e prím, van-e végtelen sok n^2+1 alakú prím (de ismert: pontosan a 2 és a 4k+1 alakú prímek írhatók fel n^2+k^2 alakban). (SZE könyv: 5.1, 5.2, T5.3.1, T5.5.1, T5.5.3.)

7. előadás, 10/24: További prímes érdekességek: Van tetszőlegesen hosszú (véges) számtani sorozat csupa prímszámból, Goldbach-sejtés (megoldatlan, de a gyengített változat, hogy minden 5-nél nagyobb páratlan szám három prím összege, mára már teljes egészében bizonyítást nyert). Prímszámtétel, ennek alapján a prímek, a négyzetszámok és egy konkrét nagy számmal osztható egészek sűrűségének összehasonlítása. Az első kettő kvalitatív összehasonlítása a reciprokösszegek alapján: a prímeké minden határon túl nő, a négyzetszámoké viszont kisebb, mint 2. Az osztók összege, képlet, tökéletes számok, Euklidész receptje páros tökéletes számok készítésére, Euler eredménye a megfordításról (bizonyítás nélkül). A matematika két legrégibb egyszerűen hangzó megoldatlan problémája, hogy van-e végtelen sok tökéletes szám, illetve van-e páratlan tökéletes szám. (SZE könyv: 5.1, T5.4.1, T5.6.1, T6.2.2, 6.3.)

8. előadás, 11/07: Kongruenciák, maradékosztály, redukált maradékosztály, teljes és redukált maradékrendszer, tulajdonságaik. Egy szám hatványai (1, c, c^2, ...) mod m periodikusak, és (c,m)=1 esetén a periódus rögtön az elején kezdődik. Euler-Fermat-tétel (biz. legközelebb), következmény: kis Fermat-tétel két alakja. (SZE könyv: 2.1-2.4.)

9. előadás, 11/14: Euler-Fermat-tétel bizonyítása. Alkalmazás: négyzetszám plusz 1 sohasem osztható 4k+3 alakú prímekkel. Ezt felhasználva lehet belátni, hogy végtelen sok 4k+1 alakú prím van, gondolkozzanak rajta, visszatérünk majd rá. Lineáris kongruencia megoldhatósága, megoldásszáma, összes megoldás áttekintése, megoldási módszer. Szimultán kongruenciarendszer, kínai maradéktétel. (SZE könyv: 2.4-2.6.)

10. előadás, 11/21: Végtelen sok 4k+1 alakú prím van. Rend. A Fermat-számok prímosztóinak lehetséges alakja (bizonyítás legközelebb). (SZE könyv: T5.3.3, 3.2, T5.2.1.)

11. előadás, 11/28: A Fermat-számok lehetséges prímosztóinak alakjáról szóló tétel bizonyítása. Primitív gyök. Wilson-tétel. Prímfaktorizáció és prímteszt eltérő időigénye. Álprímek. (SZE könyv: T5.2.1, 3.3, F3.3.6, 5.7.)

12. előadás, 12/05: Nyilvános jelkulcsú titkosírás, RSA-séma. (SZE könyv: 5.8.)

13. előadás, 12/12: A külön alkalommal írt zh fejében elmarad, helyette próbavizsga.