Új tájékoztató a zh-król, 2020/04/05
Tájékoztató a 2. zh-ról, 2020/04/25
Tájékoztató a vizsgákról, 2020/04/25 Sajtóhiba a vizsgatematikában: a komplex számoknál az utolsó sorban 37. feladat a helyes 39. helyett.
Próbavizsga: május 16, szombat, 10 óra, az előadáshoz tartozó Teamsben
Mi történt az előadáson?
1. előadás, 02/10: Bevezettük a gyűrű és a test fogalmát, közben tisztáztuk a művelet, neutrális elem és inverzelem fogalmát is, beláttuk ezek egyértelműségét (az utóbbiét asszociativitás esetén). Megbeszéltük, hogy a kivonásnál b-a az a+x=b egyértelmű megoldását jelenti és ez helyettesíthető a nullelem és ellentett létezésével (asszociativitás esetén). A függvények kompozíciója fontos példa asszociatív de nem kommutatív műveletre, ide tartozik pl. a síkbeli egybevágósági transzformációk kompozíciója is. Testre fontos példák a racionális számok, a valós számok, gyűrűre az egészek, a páros számok és Z_n (az n-nel való osztási maradékok). Ez utóbbiban c-nek akkor és csak akkor létezik inverze ha (c,n)=1. Így Z_n akkor és csak akkor test, ha n prímszám. (Freud: Lineáris algebra A1-3.)
2. előadás, 02/17: Gyakorlaton szerepeltek a mátrixműveletek és egyes tulajdonságaik. Most összefoglaltuk és kiegészítettük: az azonos alakú négyzetes mátrixok egységelemes nem-kommutatív gyűrűt alkotnak, ahol nem minden nemnulla elemnek van inverze (az inverzkeresésre a gyakorlaton szerepel majd eljárás, az inverz létezésére magasabb évfolyamon tanulunk majd szükséges és elégséges feltételeket). Definiáltuk a nullosztót, példát mutattunk rá a mátrixoknál és Z_n-ben. Ezután az általános lineáris egyenletrendszer megoldhatóságát, megoldásszámát, az összes megoldás meghatározását vizsgáltuk a Gauss-kiküszöböléssel egy konkrét példán keresztül. (Freud: Lineáris algebra 2.1, 2.2, 3.1.)
3. előadás, 02/24: Összefoglaltuk a lineáris egyenletrendszerekre a Gauss-kiküszöbölésből adódó megoldhatósági feltételt, megoldásszámot és az összes megoldás áttekintését. Megállapítottuk, hogy mivel a vezéregyesek külön sorokba (és oszlopokba) kerülnek, ezért ha az ismeretlenek száma nagyobb, mint az egyenletek száma, akkor nem lehet egyetlen megoldás. Speciálisan, ilyen esetben a homogén egyenletrendszernek biztosan van nem-triviális megoldása. - Levezettük a harmadfokú egyenlet megoldására a Cardano-képletet. Az (x-1)(x-2)(x+3)=0 példán láttuk, hogy a képlet megakad, mert negatív számból kell négyzetgyököt vonni, noha az egyenletnek három valós gyöke van. Ezért vezették be annak idején a komplex számokat a+bi-ként, ahol i^2=-1. Az összeadást és szorzást "természetes módon" definiáltuk, és beláttuk, hogy testet kapunk. Az osztást a konjugált segítségével lehet elvégezni. Megállapítottuk, hogy a komplex számok tartalmazzák a valósokat, továbbá azonosíthatók a sík pontjaival, illetve az origóból oda mutató helyvektorokkal. (Kiss: Bevezetés az algebrába 1.2-1.3.)
4. előadás, 03/02: Komplex számok trigonometrikus alakja, szorzás, osztás, egész kitevős hatványozás és gyökvonás ennek segítségével. (Kiss: Bevezetés az algebrába 1.4-1.5.)
5. előadás, 03/09: Komplex számok Euler-alakja, egységgyök, rend, primitív n-edik egységgyök (Kiss: Bevezetés az algebrába 1.5).
Távoktatás: előadáshoz segédanyagok
7. előadás, 03/30 Kérem, hogy a segédletet előre nézzék át érdemben, hogy az előadáson a korlátozott körülmények közepette is hatékonyan tudjunk haladni. Kérdéseiket kérem, hogy lehetőleg előre küldjék el emailben vagy a canvas előadási felületén, de természetesen az előadáson is lehet kérdezni. Köszönöm.