MEGVÁLTOZOTT, lásd lejjebb!!!! (Az első két előadáson történt egyeztetés alapján az évfolyamzhk időpontja márc. 18. és ápr. 29 (két péntek) 16-18 óra, Bolyai terem, amennyiben jelenléti oktatás lesz. Ennek fejében az utolsó heti előadás és az utolsó előtti heti gyakorlat elmarad (az utóbbi egyébként is elmarad, de ebben az esetben fel sem merül, hogy pótoljuk). Ha marad az online oktatás, akkor a márc. 16-i és ápr. 27-i előadás idejében lesznek a zh-k, és akkor az utolsó héten is lesz előadás.)
Az ÉVFOLYAMZH-k VÉGLEGES időpontja márc. 16. és ápr. 27. az előadás alatt. Az 1. csoport az Északi -1.62, a 2. és 3. csoport a (szokásos) Kémia 063 Bruckner teremben írja (ugyanazt) a zh-t. Ennek megfelelően az utolsó héten is megtartjuk az előadást. Az 1. zh-hoz konzultáció márc. 14-én, hétfőn 19 órakor az előadás teams felületén lesz, ezen kívül Ágoston István is tart konzultációt márc. 11-én, pénteken 14 órakor a 3-316 teremben. A felkészülésben segítséget jelenthet, hogy a zh teljes anyagához tartozó 1-4 feladatsorok mindegyikének megoldás/válaszlapja elérhető az adott heti gyakorlatoknál a honlapomon és a canvasban.
Konzultációk: szerda 16 óra (az előadás után), péntek 11:30 (a gyakorlat előtt) a 3-202 szobában. Ezen kívül hétfő 19 óra a teams előadási felületén értekezletként. Várakozási idő minden esetben 15 perc.
Március 30-án elmarad a konzultáció.
Mi történt az előadáson?
A Burnside-lemmával kapcsolatos hasznos leírás Ágoston tanár úr honlapján is olvasható: https://web.cs.elte.hu/~agoston/board/am21osz3/Burnside-lemma.pdf
A jövő heti előadásra kérem, nézzék át az egész számok és test feletti polinomok számeléletét: egységek, maradékos osztás, lnko, felbonthatatlan(=irreducibilis), prím, a számelmélet alaptétele.
Az egész számok és test feletti polinomok számelméletével kapcsolatos alapvető fogalmakról és tételekről lásd a Freud--Gyarmati Számelmélet könyv 1.1--1.5 pontját, illetve a Kiss Emil Bevezetés az algebrába könyv 3.1--3.3 pontját is.
A jövő heti előadásra kérem, nézzék át a komplex számokat.
3. előadás, 02/23
Z[x]-ben nincs maradékos osztás a fokszám szerint, de semmilyen más értelemben sincs. Gauss I. és II. lemmák, Z[x]-ben mik az irreducibilisek, igaz a SZAT. Schönemann-kritérium. (Kiss Emil: Bevezetés az algebrába 3.4-3.5.) Mely számok írhatók fel két négyzetszám különbségeként; elkezdve, részletesen a gyakorlaton). És két négyzetszám összegeként? Gauss-egészek bevezetése, norma, egységek. (Freud-Gyarmati Számelmélet 7.4.)
A jövő heti előadásra kérem, nézzék át az Euler-Fermat- és Wilson-tételt.
4. előadás, 03/02
A Gauss-egészeknél van maradékos osztás a norma szerint. A Gauss-prímek áttekintése. Két négyzetszám tétel. (Freud-Gyarmati Számelmélet 7.4-7.5.) Kimaradt a lemma bizonyítása, hogy minden 4k+1 alakú prímszámnak van négyzetszám plusz 1 alakú többszöröse, ez első félévben szerepelt a Wilson-tétel felhasználásával. Javaslom, gondolják meg, vagy nézzenek utána, legközelebb megbeszéljük.
5. előadás, 03/09
A lemma bizonyítása elmaradt, majd gyakorlaton. A két négyzetszám tétel kapcsán röviden beszéltünk arról, mi a helyzet több négyzetszám, illetve magasabb hatványok esetén. (F-Gy: 7.5-7.6.) Pitagoraszi számhármasok (F-Gy: 7.2), rövid kitekintés a Fermat-sejtésre (F-Gy: 7.7). Algebrai szám, minimálpolinom, fokszám, alaptulajdonságok (F-Gy: 9.1-9.3, biz. legközelebb).
6. előadás, 03/16: I. évfolyamzh.
7. előadás, 03/23: Létezik transzcendens szám, sőt majdnem minden szám transzcendens, mert az algebrai számok csak megszámlálható sokan vannak. Gelfond-Schneider tétel kimondva, ebből következik, hogy e^pi transzcendens. Q(alfa) definíciója és tulajdonságai. (F-Gy: 9.1-9.3, 10.2.)
8. előadás, 03/30: Q(alfa) tulajdonságainak bizonyítása. Általános testbővítés, foka. Véges bővítés minden eleme algebrai, a megfordítás nem igaz, ellenpélda az összes algebrai számok teste mint a Q bővítése. Fokszámtétel (bizonyítás nélkül). Algebrai alfa esetén Q(alfa) egy béta elemének a foka osztója az alfa fokának és a két fok pontosan akkor egyenlő, ha a két bővítés egyenlő. Az algebrai számok zártak a négy alapműveletre, ennek az ötlete volt még csak, érdemes rajta gondolkozni. (F-Gy: 10.1-10.2.)
9. előadás, 04/06: Az algebrai számok testet alkotnak, algebrai együtthatós polinomok gyökei is algebraiak (vázlat). Szerkezsthetőség, átfogalmazás koordináta-rendszerre és testbővítésre. A láncszemenként másodfokú testlánc szükségessége. Következmény: ami szerkeszthető, az szükségképpen kettőhatvány fokú algebrai elem a kiindulási test felett. Körnégyszögesítés, kockakettőzés, szögharmadolás, szabályos sokszögek (itt még hiányzik annak a részletes igazolása, hogy fi(n) pontosan akkor kettőhatvány, ha n kettőhatvány vagy egy kettőhatvány és különböző Fermat-prímek szorzata). Gondolkoznivaló: derékszögű háromszög szerkeszthetősége egy oldalból és egy szögfelezőből (5 feladat), legközelebb megbeszéljük. (F-Gy: 10.2.6-7 tételek, Kiss: 6.8.)
10. előadás, 04/20: Szabályos sokszög szerkeszthetősége, bizonyítás vége (csak szükségesség). A testláncos feltétel elégségessége a szerkeszthetőséghez. Derékszögű háromszög szerkeszthetősége egy oldalból és egy szögfelezőből. Egyenletek megoldhatósága gyökjelekkel: mit jelent, hányadfokúakra van megoldóképlet. Mese a testbővítéssel és csoportokkal való kapcsolatról. (Kiss: 6.8, 6.9.)
11. előadás, 04/27: II. évfolyamzh. < p>
12. előadás, 05/04: Kvadratikus maradékok, Legendre-szimbólum. Rövid vázlatos kitekintés: Jacobi-szimbólum, mire jó a Legendre-szimbólum kiszámolásánál, Solovay-Strassen prímteszt. Dirichlet-tétel 6k-1 és 6k+1 speciális esete. (F-Gy: 4.1-4.3, 5.3, 5.7.4 Tétel.)
Fermat-számok prímtesztje (F-Gy: T5.2.2). Hausdorff- és Banach-Tarski-paradoxon.