Évfolyamzh-k végleges időpontja: október 16. és november 27. péntek délután 16-17:40. Részletes zh tájékoztató
A második zh anyaga és gyakorló feladatok a 10. gyakorlat feladatsorán vannak.
második zh , mo
A(z általános tájékoztatóban szereplő) javítózh időpontja: december 15. (kedd) 10-12, 0-822-es terem.
Vizsgatájékoztató. Lesz próbavizsga dec. 10-én az előadás idejében és helyén.
Mi történt az előadáson?
1. előadás, 09/10: Oszthatóság az összes egész szám körében, egységek, a számelmélet alaptételének kimondása (célunk a bizonyítása), összehasonlítás a páros, illetve az egész+egésszer gyök 2 alakú számokkal (Freud-Gyarmati Számelmélet 1.1, 1.5).
2. előadás, 09/17: A maradékos osztást pontosan megfogalmaztuk mind a legkisebb nem negatív, mind a legkisebb abszolút értékű maradékokkal, majd bevezettük a kongruenciát és megbeszéltünk néhány alaptulajdonságot. Ezután felelevenítetük az lnko kanonikus alakból történő kiszámolását, leolvasva azt is, hogy az lnko minden közös osztónak többszöröse. Ezzel kapcsolatban az egyik probléma, hogy a SZAT-ot még nem igazoltuk, sőt ahhoz éppen az lnko iménti tulajdonságára lesz szükségünk, a másik probléma pedig az, hogy nagy számok esetén a prímtényezős felbontás megtalálása mai tudásunk szerint teljesen reménytelen. Egy konkrét példánál láttuk, hogy egy maradékos osztás jó szolgálatot tehet az lnko kiszámolásához, és ezt általánosítva megtárgyaltuk az euklideszi algoritmust. Ez egyrészt gyors eljárás az lnko kiszámolására (ezt még végig kell gondolnunk), másrészt azt a pluszt is kiadja, hogy az lnko minden közös osztónak többszöröse. Végül kimondtuk, hogy az is leolvasható az algoritmusból, hogy az lnko a két szám alkalmas egészekkel való kombinációjaként is előáll, ennek végiggondolása hf. (FR-GyE: Számelmélet 1.2, 1.3, 2.1.)
3. előadás, 09/24: Részletesen megbeszéltük, miért gyors az euklideszi algoritmus, definiáltuk a kitüntetett közös osztót, és tisztáztuk az (egységszorzótól eltekintve) egyértelműségét, az lnko-hoz való viszonyát és azt, hogy a létezését az euklideszi algoritmus biztosítja. Beláttuk, hogy ha a|bc és (a,b)=1, akkor a|c. Végül a kétváltozós lineáris diofantikus egyenlet megoldhatóságáról, megoldásszámáról, megoldási módszeréről és az összes megoldás leírásáról szóló tételt igazoltuk (a legutolsó vonatkozásában egy rész a gyakorlaton lesz bizonyítva). (FR-GyE: Számelmélet 1.3, 7.1, 5.7.1 Tétel II. része.)
4. előadás, 10/01: Pontosan definiáltuk a felbonthatatlan és a prím fogalmát, megmutattuk, hogy a páros számok körében nincsenek prímek (de felbonthatatlanok vannak), majd beláttuk, hogy az egész számok körében a prímek megegyeznek a felbonthatatlanokkal. Ezután igazoltuk a számelmélet alaptételét, és ennek néhány egyszerű következményét: osztó, lnko, lkkt kanonikus alakja, pozitív osztók száma [d(n)]. (FR-GyE: Számelmélet 1.4-1.6.)
5. előadás, 10/08: Definiáltuk a fi-függvényt, és megadtuk a képletét (az ehhez felhasznált "ha (a,b)=1, akkor fi(ab)=fi(a)f(b)" állítást csak később bizonyítjuk). Beláttuk, hogy végtelen sok prímszám van, sőt 4k+3 alakú prímszámból is végtelen sok van. Megvizsgáltuk, hogy a bizonyítás miért nem vihető át közvetlenül annak igazolására, higy a 4k+1 alakú prímek száma is végtelen, de ez utóbbi is igaz, és később belátjuk majd. A problémát általánosítva kimondtuk, hogy pontosan mely számtani sorozatok tartalmaznak végtelen sok prímszámot (Dirichlet-tétel) és a szükségességet végiggondoltuk (az elégségességet az általános esetre nem bizonyítjuk). Megmutattuk, hogy a prímszámok sorozatában akármilyen nagy hézagok vannak, és kimondtuk (bizonyítás nélkül) a Csebisev-tételt. (FR-GyE: Számelmélet 2.3, 5.3, 5.5.)
6. előadás, 10/15: Áttekintettünk néhány híres, a prímszámokra vonatkozó megoldatlan problémát: ikerprímek, Goldbach-sejtés, n^2+1 alakú prímek, szomszédos négyzetszámok között van-e mindig prím, Mersenne- és Fermat-prímek . Képletet adtunk a pozitív osztók összegére, majd megadtuk a páros tökéletes számok jellemzését (az egyik irány bizonyítása még hátra van). (FR-GyE: Számelmélet 5.1, 5.2, 6.2, 6.3.)
7. előadás, 10/22: Befejeztük a páros tökéletes számokat leíró tétel bizonyítását, majd rátértünk a kongruenciák szisztematikus felépítésére. Tisztáztuk, hogy kongruenciákat osztani, törtbe helyettesíteni nem szabad, ez több sebből vérzik, viszont szabad a modulushoz relatív prímmel egyszerűsíteni, illetve tetszőleges számmal való egyszerűsítésnél a modulust is le kell osztani alkalmas számmal. Eztuán a maradékosztály, teljes maradékrendszer, redukált maradékosztály és redukált maradékrendszer fogalmával és néhány alapvető tulajdonságával ismerkedtünk meg. (FR-GyE: Számelmélet 6.3, 2.1, 2.2.)
8. előadás, 11/05: Beláttuk, hogy egy szám nem negatív egész kitevős hatványainak mod m maradékai mindig periodikus sorozatot alkotnak, és ez pontosan akkor tisztán periodikus, azaz pontosan akkor van c-nek 1-gyel kongruens hatványa, ha (c,m)=1. Ezután megmutattuk, hogy a fi(m)-edik hatvány minden (c,m)=1 esetén ilyen (Euler-Fermat-tétel), és leolvastuk, hogy mit jelent ez prím modulus esetén (kis Fermat-tétel, mindkét alak). Alkalmazásként (újra) beláttuk, hogy az F_5 Fermat-szám összetett, mert 3-nak az F_5-1-edik hatványa nem ad 1 maradékot mod F_5: ez 32 négyzetre emeléssel (és mod F_5 redukciókkal) kiszámolható, de nem számoltuk ki effektíve. Érdekessége a dolognak, hogy az összetettség tényét anélkül állapítottuk meg gyorsan, hogy egy konkrét osztót találtunk volna.Ezután a lineáris kongruencia megoldhatóságáról, megoldásszámáról, az összes megoldás megadásáról és megoldási módszerről mondtunk ki eredményeket a lineáris diofantikus egyenletre történt visszavezetés alapján. Egy példán bemutattunk "ad hoc" megoldási módszereket is. (FR-GyE: Számelmélet 2.4, 2.5.)
9. előadás, 11/12: Lineáris diofantikus egyenletre visszavezetve szükséges és elégséges feltételt adtunk a két kongruenciás szimultán kongruenciarendszer megoldhatóságára, leírtuk az összes megoldást és (részben egy példán keresztül) bemutattunk többféle megoldási módszert. Következményként megkaptuk a kínai maradéktételt: ha egy (akár kettőnél több kongruenciából álló) szimultán kongruenciarendszerben a modulusok páronként relatív prímek, akkor biztosan van megoldás, és az összes megoldás egy maradékosztályt alkot a modulusok szorzata szerint. Ennek alkalmazása, hogy egy mod m kongruencia megoldása visszavezethető különböző prímhatvány modulusú kongruenciák alkotta szimultán kongruenciarendszerre (ezek a prímhatványok az m kanonikus alakjában szereplő prímhatványok). A kínai maradéktételből az is következik, hogy (k,m)=1 esetén egy számnak m-mel és k-val való osztási maradékai teljesen függetlenek egymástól, így például a 13-mal való osztási maradék keresésekor semmi értelme sincs a szám utolsó számjegyét vagy paritását nézni. Ezután bevezettük a rend fogalmát és beláttuk az alapvető tulajdonságait. Definiáltuk a primitív gyököt (mint fi(m) rendű elemet), és kimondtuk (bizonyítás nélkül), hogy prímmodulusra mindig van primitív gyök. Példaként megmutattuk, hogy mod 12 nem létezik primitív gyök. (FR-GyE: Számelmélet 2.6, 3.2, 3.3.)
10. előadás, 11/19: A Fermat-számok prímosztóinak lehetséges alakjáról szóló tétel és a pitagoraszi számhármasokról szóló tétel szerepelt (FR-GyE: Számelmélet 5.2.1 Tétel, 7.2).
11. előadás, 11/26: Fermat-sejtés. Primitív gyök, Wilson-tétel. Álprímek. (FR-GyE: Számelmélet 7.7, 3.3, 2.7, 5.7).
12. (utolsó) előadás, 12/03: Prímszámok száma N-ig "kb." N/log_e N, tehát pl. 10^100-ig több, mint 10^97 prímszám van, miközben négyzetszám csak 10^50, ami azt jelenti, hogy a prímszámok sokkal sűrűbben fordulnak elő, mint a négyzetszámok. Nyilvános jelkulcsú titkosírás, RSA-séma. (FR-GyE: Számelmélet T5.4.1, 5.8.)