Számelmélet feladatmegoldó szeminárium

Tájékoztató: pdf

!!!A zh április 13-án a 065 teremben lesz!!!

ZH: zh, mo

Osztályzási tájékoztató: I. Házi feladatok: Az április 27-én feladandó utolsó hf-fel együtt az elérhető maximális pontszám 185. A jegybe ennek negyedrésze számít bele, maximum 128/4=32. - II. Zh: Maximálisan elérhető 35 pont. - III. Feladatelmondás a táblánál: alkalmanként 11 pont, maximum 33 vehető figyelembe. - Így az elérhető maximum: 32+35+33=100. - Jegyek: jeles - 75-től; jó - 60-tól 74-ig; közepes - 45-től 59-ig; elégséges - 30-tól 44-ig. Az így elért jegyet nem kötelező elfogadni, ebben az esetben semmilyen jegyet nem írok be az indexbe/etr-be.

A félévvégi zh-dömping miatt az utolsó szeminárium - a korábbi megbeszélésnek megfelelően - május 11-én lesz. A végleges jegyajánlatokat az óra végén a jelenlevőknek megmondom, a többieket pedig május 15-ig infosheeten értesítem. Akinek nem tudok legalább elégségest adni, annak nem adok jegyet és értesítést sem küldök. Aki nem fogadja el az ajánlott jegyet, kérem, erről emailben május 26-ig értesítsen. Akitől nem kapok ilyen irányú kérést, annak május 27-én beírom a jegyet az etr-be. Az indexbe a jegy beíratható május 11-én a szeminárium végén, május 18-án 4 és 5 között a szobámban, valamint a honlapomon, illetve az ajtómon szereplő bármely elérhetőségi időpontban.


Játék a négyzetszámokkal: pdf

1. feladatsor: pdf

2. feladatsor: pdf

3. feladatsor: pdf

4. feladatsor: pdf

5. (utolsó) feladatsor: pdf


Beadandó házi feladatok:

02/23-ra: 10, 15; !!!Figyelem!!! A 10-es feladat második, azaz térbeli részénél csak (mondjuk) a 2010-nél nagyobb n-ekre nézzék a kérdést!!! (A feladatot eredetileg helyszíni megbeszélésre szántam, és amikor kiválasztották hf-nek, elfelejtettem szólni, hogy a kis n-ek egy részére a térbeli probléma megoldatlan, elnézést kérek.)

03/02-re: 14, 17

03/09-re: 25, 29

03/16-ra: 16, 30

03/23-ra: 36, 44

03/30-ra: 34, 46

04/06-ra: 50, 53

04/27-re: 49, 54

05/04-re (utolsó beadandó): 52, 58


A következő hétre szóba jövő feladatok:

02/23-ra: 3, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, továbbá hány megoldása van az x^2-2y^2=7, illetve x^2-2y^2=5 diofantikus egyenleteknek?

03/02-re: 5(*), 7, 8, 18, 19, 24(a múlt alkalommal felmerült két Pell-típusú egyenletről most elfeledkeztünk, talán arra is érdemes valamikor sort keríteni).

03/09-re: 5(*) - Útmutatás: az eredmény pi/8, keresni kell a kapcsolatot valamilyen alkalmas körrel; 7, 8, 23, 24, 31, x^2-2y^2=5, illetve x^2-2y^2=7 megoldásszáma.

03/16-ra: 7, 8, 24, 26, 27, 28.

03/23-ra: 1c, 6, 7, 22, 28, ad 26: példák olyan s távolságra, amelynek első felén v_1, a másodikon v_2, az egészen pedig v az átlagsebesség, és ezek viszonylag kis egész számok.

03/30-ra: 1c, 20, 21, 32, 33, 35, ad 6: legyen H azon számok halmaza, amelyek ötös számrendszerbeli alakjában hátulról számítva a páratlanadik számjegyek csak 0 vagy 2 lehetnek; belátandó, hogy két különböző H-beli szám különbsége sohasem lehet négyzetszám, továbbá meghatározandó, hogy (kb.) hány eleme van H-nak 1 és n között, ad 26: lásd egy héttel feljebb.

04/06-ra: 1c, 20, ad 26, 43, 47, 56, 57.

04/27-re: 1c, ad 26, 37 - 43, 45. Extra feladat: a 46-os köbgyök helyett 2011-edik gyökre.

05/04-re: 1c, 41, 42, 48, 51, 55, 64, 66.

05/11-re: Bármely, még nem megbeszélt feladat.


Megbeszélt feladatok:

02/16: 1a, 2, 4. Kapcsolódó általános tételek (nem kellettek a feladatok megoldásához): 1a feladathoz: Pell-egyenlet: Ha d>0 és nem négyzetszám, akkor az x^2-dy^2=1 diofantikus egyenletnek végtelen sok megoldása van (Freud-Gyarmati Számelmélet T7.8.1). 4. feladathoz: Két négyzetszám tétel: Pontosan azok a pozitív egészek állnak elő két négyzetszám összegeként, amelyek kanonikus alakjában minden 4k-1 alakú prím kitevője páros (Freud-Gyarmati Számelmélet T7.5.1).

02/23: 9, 11, 12, 13. A 9. feladathoz kapcsolódóan beszéltünk annak alkalmazásáról prímfelbontásra (Freud Lineáris algebra 9.3.)

03/02: 18, 19. Ad 10: Általában, ha (a,b)=1, a,b>0, akkor az ax+by=n diofantikus egyenletnek minden n>ab-a-b-re van nemnegatív egész megoldása, de n=ab-a-b-re nincs. Több ismeretlen esetén a probléma nem teljesen megoldott (Frobenius-kérdéskör, Freud-Gyarmati Számelmélet F7.1.10-12).

03/09: 5, 23, 31, x^2-2y^2=5, x^2-2y^2=7 megoldásszáma.

03/16: 8, 24, 27, 26 - megbeszéltük, hogy ha egy táv első, illetve második felében v_1, illetve v_2 a sebesség, akkor a táv egészén nem a számtani, hanem a harmonikus közép adja az átlagsebességet.

03/23: 7, 22, 28, Ad 6: Az összegnél a 3k+1 alakúak jók, így kb. n/3 megadható n-ig, de n/2-nél (lényegesen) több biztosan nem adható meg, mert c és k^2-c közül legfeljebb az egyik vehető. Javítás: mod 32 lehet 11 maradékosztályt adni, és hosszú ideig tartó megoldatlanság után Szemerédi Endre belátta, hogy ez a legjobb. A különbségnél a mohó algoritmus kb. négyzetgyök n-et ad, sokáig ezt alig tudták nehéz tételek felhasználásával javítani, majd Ruzsa Imre adott egy ennél lényegesen jobb teljesen elemi konstrukciót, lásd a jövő hétre kitűzött gondolkodnivalók között.

03/30: 21, 32, 33, 35, ad 6 (lásd feljebb).

04/06: 20, 47, 56, 57.

04/27: 37, 39, 40, 43, 45.

05/04: 1c, 48, 51, 55, 64, 66.

05/11: 62, 63, 67, 68, 69, 70, 71.